MATEMÁTICA INFORMAL: EL
PASO DEL MEDIO ESENCIAL.
Baroody, Arthur J.
¿Llegan los niños a la
escuela con unos conocimientos matemáticos significativos? ¿Qué papel ha
desempeñado la experiencia correcta especialmente al contar, en el desarrollo
histórico del conocimiento matemático? ¿Cual es la naturaleza y el alcance de
la matemática natural de los niños? ¿Por qué es importante que los niños
dominen la matemática formal y cual es la mejor manera de abordar la
instrucción inicial? ¿Cuáles son las consecuencias de pasar por alto la matemática de los niños?
A)
EL
CONOCIMIENTO MATEMATICO DE LOS PREESCOLARES
Toda
comprensión teórica de una materia debe basarse en la realidad y verificarse en
la práctica. Para que teoría y práctica estén sólidamente enlazadas, a lo largo
de este libro se presentaran diversos estudios de casos concretos. Por tanto,
el examen de los conocimientos de los preescolares se inicia con una mirada a
un caso real.
El
caso de Alison
Alison,
que contaba con tres años y medio de edad, se hallaba celebrando el segundo
aniversario de su hermana.
PADRE: Alison, ¿Cuántos años hace hoy
Arianne?
ALISON: (levanta 2 dedos)
PADRE: ¿Cuántos años tiene Alison?
ALISON: (levanta 3 dedos)
PADRE: ¿Cuántos años tiene papá?
ALISON: (tras unos instantes, levanta cuatro dedos)
Varias
semanas más tarde se produjo la siguiente conversación:
PADRE: (levantando 3 dedos.) ¿Cuántos
dedos hay?
ALISON: (va señalando con un dedo
mientras cuenta 1, 2, 3)
PADRE: (levantando dos dedos) ¿Cuántos
dedos hay?
ALISON: Es como Eanne (La edad de
Arianne)
PADRE: ¿Cuántos dedos son?
ALISON: 2
PADRE: (saca tres monedas) ¿me puedes
decir con los dedos cuantas monedas tengo aquí?
ALISON: (levanta tres dedos y se pone a
contar) 1, 2, 3, 4.
Lo cierto es que hasta puede reconocer
automáticamente colecciones de uno o de dos objetos como, por ejemplo, tres
monedas, es capaz de crear un modelo con sus dedos. En realidad para Alison los
dedos son un medio natural para expresar ideas matemáticas (los usaba por
ejemplo para representar edades). Además parecía escoger deliberadamente cuatro dedos para representar la edad de su padre, en una representación
distinta de la empleada para la edad de su hermana y la suya propia. Aunque de
manera inexacta, pudo haber elegido un número mayor para indicar una
comparación entre edades: papa es mayor. ¿Es Alison una niña preescolar típica?
¿Llegar a la escuela la mayoría de los
niños con técnicas matematicas básicas como contar, reconocer, emparejar y
comparar conjuntos?
La
matemática de Alison se basa en experiencias concretas, como contar y emplear
los dedos. ¿Qué importancia tienen estas experiencias concretas para el
desarrollo matemático de los niños? La
matemática de Alison tiene claras limitaciones, Por ejemplo, contaba con
exactitud y reconocía conjuntos muy pequeños, pero no conjuntos mayores ¿Cuáles
son las limitaciones de la matemática concreta de los niños? La matemática de
Alison es muy práctica, por ejemplo, conecta las representaciones con los dedos
con acontecimientos importantes en su vida y los emplea para comunicar sus
ideas y necesidades. ¿Qué importancia tiene la necesidad practica para el
desarrollo matemático?
Dos
puntos de vista sobre el niño:
La teoría de la absorción parte
del supuesto de que los niños llegan a la escuela como pizarras en blanco cobre
las que pueden escribirse directamente de las matemáticas escolares. Aparte,
quizá, de algunas técnicas de contar aprendidas de memoria, se considera que
los preescolares carecen de técnicas matemáticas. De hecho, el famoso teórico
asociacionista E. L thorndike (1922) consideraba a los niños pequeños tan
ineptos, matemáticamente hablando, que afirmaba *parece poco probable que los
niños aprendan aritmética antes de segundo curso por mucho tiempo que se
dedique a ello, aunque hay muchos datos aritméticos que se pueden aprender durante el primer curso* (p198). Además, la
teoría de la absorción indica que la técnica para contar que tienen los niños
cuando se incorporan a la escuela es esencialmente irrelevante o constituye un
obstáculo para llegar al dominio de la matemática informal. Con la instrucción
formal, la adquisición del conocimiento matemático real vuelve a partir
básicamente desde cero.
La
teoría cognoscitiva sostiene que los niños no llegan a la escuela como pizarras
en blanco. La reciente investigación cognitiva demuestra que, antes de empezar
la escolarización formal, la mayoría de los niños adquiere unos conocimientos
considerables sobre contar, el número y la aritmética. Además, este
conocimiento adquirido de manera informal actúa como fundamento para la
comprensión y el dominio de las matemáticas impartidas en la escuela. En pocas
palabras, las raíces de las aptitudes matemáticas llegan hasta la época
preescolar y el éxito de la enseñanza escolar se funda en este conocimiento
aprendido de manera informal. Para apreciar mejor la importancia de este
elemento básico, examinaremos como ha evolucionado el conocimiento matemático
en el transcurso de la historia humana.
B) BREVE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA
Inicios
concretos
Sentido numérico básico. El ser humano,
como algunas otras especies, parece estar dotado de un sentido numérico
primitivo. Podemos percibir fácilmente la diferencia entre un conjunto de un
elemento y una colección de muchos elementos, o incluso entre una colección
pequeña y una grande. Podemos ver si se añade o se quita algo de una colección.
Esta percepción directa puede ser muy útil en determinadas circunstancias pero
no en otras, como en el caso de distinguir una bandada de 8 aves a otra de 9.
Métodos concretos de contar. Para llevar
la cuenta del tiempo y de sus pertenencias, nuestros antepasados prehistóricos
idearon métodos basados en la equivalencia y la correspondencia biunívoca. La
equivalencia podía ofrecer un registro de los días transcurridos, por ejemplo,
desde el último plenilunio: añadir un guijarro cada noche hasta que la luna
llena volviera a aparecer. De la misma
manera, para llevar la cuenta de una colección de pieles animales, un cazador
podía tallar una muesca en un palo o en un hueso por cada piel añadida al montón.
Este proceso de equivalencia crea una correspondencia biunívoca: ni más ni
menos que un elemento del conjunto de pieles. Mas adelante, para comprobar si todavía estaban las pieles, estas podían
emparejarse una a una con las muescas de palo para cortar.
Restos del pasado. Todavía tiene
resto de las épocas prenuméricas. Por ejemplo, en castellano hay varias formas
de expresar “2”: par, pareja, dúo,
doble, diada, etc. En épocas más primitivas, estos términos pueden haber sido
designados para referirse a la pluralidad de objetos específicos. Inicialmente,
el número no era más que una cualidad o una característica de un objeto
determinado.
Más
allá de lo puramente concreto
A medida que las sociedades
cazadoras-recolectoras daban paso a comunidades sedentarias basadas en la agricultura
y el comercio, llevar la cuenta del tiempo y posesiones fue haciéndose cada vez
mas importante. En consecuencia, también fue en aumento la necesidad de métodos
más precisos de numeración y medición basados en contar. Contar es la base
sobre la que hemos edificado los sistemas numérico y aritmético, del papel tan
esencial en nuestra civilización avanzada. A su vez, el desarrollo de contar
esta íntimamente ligado a nuestros diez dedos.
Dantzig afirma: A sus diez
dedos articulados debe el hombre su éxito en el cálculo. Estos dedos le han
enseñado a contar y, en consecuencia, a
extender infinitamente el alcance del numero. Sin este instrumento. La
aptitud numérica del hombre y no podría haber ido mucho mas allá del sentido
rudimentario del numero. Y es razonable aventurar que, sin nuestros dedos, el desarrollo del
número y, en consecuencia, el de las ciencias exactas a las que debemos nuestro
progreso material e intelectual, se hubiera visto irremediablemente menguado.
Contar
con los dedos es el trampolín que permite superar las limitaciones de nuestro
sentido numérico natural. Donde los antropólogos no han encontrado señales del
empleo de los dedos para contar, la percepción del número es muy limitada. En
unos estudios realizados con aborígenes de Australia que no habían alcanzado a
llegar a la etapa de contar con los dedos solo se encontraron unos pocos que
pudieron identificar el 4 y ninguno que pudiera distinguir el 7. En este
sentido natural, los aborígenes no desarrollan conceptos básicos de la cantidad
y la medida.
Numero abstracto. Es probable que
contar fuera el medio por el que nuestra civilización desarrollo un concepto
abstracto del número: un concepto que hace posible la matemática, Russell
afirmaba que pudieron haber transcurrido eras antes de que se reconociera que
las distintas dualidades concretas como el caso del numero 2. Los dedos
proporcionan modelos fácilmente asequibles de colecciones de uno a diez
objetos. Pueden levantarse dos dedos, por ejemplo, para indicar un par de ojos
y una yunta de caballo. Con el nombre, el nombre de esta colección modelo pudo
aplicarse a cualquier colección concreta que se correspondiera con dos dedos.
Durante
un largo periodo de la historia, los términos para “dos” “tres” y “muchos” sirvieron adecuadamente. A
medida que fue creciendo la necesidad de una precisión mayor, contar se
convirtió en un instrumento esencial. Contar coloca los nombres de las
colecciones modelo en un orden y ofrece una alternativa conveniente a la
equivalencia para asignar nombres numéricos. Podía hacerse una petición
directamente con la palabra siete y cumplirse contando siete objetos.
Conectar
los dos aspectos numéricos. El número tiene dos funciones: nombrar y
ordenar. El aspecto nominal, o cardinal, trata e los elementos que contienen un
conjunto dado. Nombrar un conjunto no requiere contar necesariamente. Como
acabamos de ver, un conjunto puede clasificarse como “cinco”, por ejemplo, si
se corresponden exactamente (es decir, pueden formar una correspondencia biunívoca)
con los elementos de una colección modelo (por ejemplo, los dedos de una mano)
denominada “cinco”. Por tanto, nombrara conjuntos solo requería colecciones
modelos como los ojos para representar dos, una hoja de trébol para representar
tres, las patas de un caballo para el cuatro, etc..
El aspecto de
orden, u ordinal, de numero, esta relacionado con contar y se refiere a colocar
colecciones en sucesión por orden de magnitud. Contar proporciona una secuencia
ordenada de palabras (la serie numérica) que puede asignarse a colecciones cada
vez mayores. Para contar una colección, una persona asigna sucesivamente
términos de la serie numérica a cada elemento dela colección hasta que ha asignado
un nombre a cada uno de los elementos. El número asignado a la colección
especifica la magnitud relativa del conjunto. Por ejemplo, se ha contado una
colección y se le ha asignado l palabra cinco, será mayor que otras designadas,
con uno, dos, tres o cuatro y menos que las designadas con seis o más.
Contar con los
dedos puede enlazar los aspectos cardinal ordinal del número. Para representar
una colección como, por ejemplo, el número cardinal 4, una persona solo tiene
que levantar cuatro dedos simultáneamente para contar la misma colección, la
persona levanta cuatro dedos en sucesión. Los resultados de contar son
idénticos a los de levantar simultáneamente cuatro dedos (la representación
cardinal) por tanto, nuestros dedos son un medio para pasar sin esfuerzo de un
aspecto del numero al otro (Dantzig, 1930-1954).
El
desarrollo de un sistema de numeración con órdenes de unidades de la base diez.
A
medida que las sociedades y las economías se fueron haciendo mas complejas aumento
la presión encaminada a cubrir sistemas de representación y d calculo lo que
pudieran aplicarse con eficacia a grades cantidades. Para representar un rebaño
de 124 ovejas el empleo de un sistema de contar estableciendo correspondencias
es muy incomodo.las tareas con cantidades grandes inspiraron la idea de hacer
agrupamientos, y nuestros diez dedos ofrecieron una base natural para ello (Churchill,
1961)por ejemplo cuando una oveja pasaba junto al pastor, este le contaba con
los dedos, cuando llegaba a diez, podía representar esta cantidad con un
guijarro. Con las manos libres otra vez, podría proseguir el recuento. A medida
que se iban acumulándolos guijarros, podía haber simplificado aun mas el
proceso sustituyendo diez guijarros por una piedra. Por tanto la
piedra pasaría a representar 10 decenas, o sea 100. Como estos agrupamientos se
basan en el 10 y en múltiplos de 10, el sistema empleado por el pastor se
denomina sistema de base de diez. Si tuviéramos doce dedos es probable que
hubiéramos hecho agrupaciones de doce en doce y hoy tendríamos un sistema de
base doce.. Nuestro sistema de base diez es simplemente un 2accidente
fisiológico”
El
primer sistema numérico conocido apareció hacia el año 3500 a de C. e
incorporaba un concepto de base diez. El sistema cuneiforme de los sumerios y
el sistema jeroglífico de los egipcios empleaban una colección de trazos para
representar los números del 1 al 9. Un agrupamiento de decenas se representaba
con un símbolo especial. Mas adelante los griegos y los romanos desarrollaron
sistemas diferentes. Sin embargo, ninguno de estos sistemas numéricos antiguos
se prestaba con facilidad al calculo aritmético, como demostrara rápidamente el
intento de realizar la suma de la figura 2.1 B
Aunque
los símbolos escritos se han usado para representar números desde tiempos
prehistóricos, el desarrollo de unos procedimientos de cálculo eficaces tuvo
que esperar hasta la invención de un sistema de numeración posicional. En un
sistema posicional o de órdenes de unidades, el lugar de una cifra define su
valor. Por ejemplo, el numero 37 el 3 ocupa el lugar de las decenas y de ahí
que represente tres decenas y no tres unidades. Esto elimina la necesidad de símbolos
especiales para representar 10 y múltiplos de 10 como ocurre en los jeroglíficos
egipcios. En un sistema con ordenes de unidades, que pueden usarse con 10
cifras (del 0 al 9) para representar cualquier numero, aun los números grandes
de una manera compacta.
Con todo, la
numeración posicional es una idea relativamente abstracta y no se improviso con
rapidez. Es probable que el impulso para un sistema posicional fuera
producido por la necesidad de anotar por
escrito las operaciones realizadas con un ábaco. El acabo ilustrado en la 2.2
utiliza un modelo de base diez: la columna de la derecha representa las unidades, la siguiente
representa grupos de diez y la siguiente grupos de cien. De acuerdo con esto,
la figura 2.2.A representa el
numero cuatrocientos treinta y dos (432) y la figura 2.2.B. el
cuatrocientos dos (402).
Los usuarios de ábacos no debieron tener
dificultades con las columnas vacías hasta que tuvieron que hacer un registro
permanente de sus cuentas. Parece ser que el 0se invento para simbolizar una
columna vacía y evitar esta confusión (por ejemplo, Engiehardt, Ashlock y Webe,
1984). Parece que, al principio, el 0 significaba algo vacio o en blanco, no la
nada (ningún objeto). Con la invención del 0 fue posible la concepción de un
sistema numérico posicional (con ordenas de unidades). Esto hizo posible la
elaboración de algoritmos aritméticos que podían ser aprendidos por casi todo
el mundo. La invención del 0 es uno de
los mayores logros de la historia humana, y fue un hito frusial que hizo
posible la ciencia y el comercio moderno (Dantzing, 1954).
En
la realidad, los procedimientos de cálculo escrito solo se han venido usando
durante los últimos 300 años de la historia e la humanidad solo hace unos
centenares de años, lo normal en Europa occidental era contar con los dedos. En
los libros y las universidades se enseñaba a hacer cálculos aritméticos con los
dedos, el arte e emplear los dedos para contar y realizar operaciones
aritméticas sencillas era, en aquellos tiempos, uno de los logros de las
personas cultivadas.
