LA MATEMATICA INFORMAL

MATEMÁTICA INFORMAL: EL PASO DEL MEDIO ESENCIAL.

Baroody, Arthur J.

¿Llegan los niños a la escuela con unos conocimientos matemáticos significativos? ¿Qué papel ha desempeñado la experiencia correcta especialmente al contar, en el desarrollo histórico del conocimiento matemático? ¿Cual es la naturaleza y el alcance de la matemática natural de los niños? ¿Por qué es importante que los niños dominen la matemática formal y cual es la mejor manera de abordar la instrucción inicial? ¿Cuáles son las consecuencias de pasar por alto  la matemática de los niños?

A)    EL CONOCIMIENTO MATEMATICO DE LOS PREESCOLARES

Toda comprensión teórica de una materia debe basarse en la realidad y verificarse en la práctica. Para que teoría y práctica estén sólidamente enlazadas, a lo largo de este libro se presentaran diversos estudios de casos concretos. Por tanto, el examen de los conocimientos de los preescolares se inicia con una mirada a un caso real.

El caso de Alison  

Alison, que contaba con tres años y medio de edad, se hallaba celebrando el segundo aniversario de su hermana.

PADRE: Alison, ¿Cuántos años hace hoy Arianne?

ALISON: (levanta 2 dedos)

PADRE: ¿Cuántos años tiene Alison?

ALISON: (levanta 3 dedos)

PADRE: ¿Cuántos años tiene papá?

ALISON: (tras unos instantes, levanta cuatro dedos)

Varias semanas más tarde se produjo la siguiente conversación:

PADRE: (levantando 3 dedos.) ¿Cuántos dedos hay?

ALISON: (va señalando con un dedo mientras cuenta 1, 2, 3)

PADRE: (levantando dos dedos) ¿Cuántos dedos hay?

ALISON: Es como Eanne (La edad de Arianne)

PADRE: ¿Cuántos dedos son?

ALISON: 2

PADRE: (saca tres monedas) ¿me puedes decir con los dedos cuantas monedas tengo aquí?

ALISON: (levanta tres dedos y se pone a contar) 1, 2, 3, 4.

Lo cierto es que hasta puede reconocer automáticamente colecciones de uno o de dos objetos como, por ejemplo, tres monedas, es capaz de crear un modelo con sus dedos. En realidad para Alison los dedos son un medio natural para expresar ideas matemáticas (los usaba por ejemplo para representar edades). Además parecía escoger  deliberadamente cuatro dedos para representar  la edad de su padre, en una representación distinta de la empleada para la edad de su hermana y la suya propia. Aunque de manera inexacta, pudo haber elegido un número mayor para indicar una comparación entre edades: papa es mayor. ¿Es Alison una niña preescolar típica?

¿Llegar a la escuela la mayoría de los niños con técnicas matematicas básicas como contar, reconocer, emparejar y comparar conjuntos?

            La matemática de Alison se basa en experiencias concretas, como contar y emplear los dedos. ¿Qué importancia tienen estas experiencias concretas para el desarrollo  matemático de los niños? La matemática de Alison tiene claras limitaciones, Por ejemplo, contaba con exactitud y reconocía conjuntos muy pequeños, pero no conjuntos mayores ¿Cuáles son las limitaciones de la matemática concreta de los niños? La matemática de Alison es muy práctica, por ejemplo, conecta las representaciones con los dedos con acontecimientos importantes en su vida y los emplea para comunicar sus ideas y necesidades. ¿Qué importancia tiene la necesidad practica para el desarrollo matemático?

Dos puntos de vista sobre el niño:

            La teoría de la absorción parte del supuesto de que los niños llegan a la escuela como pizarras en blanco cobre las que pueden escribirse directamente de las matemáticas escolares. Aparte, quizá, de algunas técnicas de contar aprendidas de memoria, se considera que los preescolares carecen de técnicas matemáticas. De hecho, el famoso teórico asociacionista E. L thorndike (1922) consideraba a los niños pequeños tan ineptos, matemáticamente hablando, que afirmaba *parece poco probable que los niños aprendan aritmética antes de segundo curso por mucho tiempo que se dedique a ello, aunque hay muchos datos aritméticos que se pueden aprender  durante el primer curso* (p198). Además, la teoría de la absorción indica que la técnica para contar que tienen los niños cuando se incorporan a la escuela es esencialmente irrelevante o constituye un obstáculo para llegar al dominio de la matemática informal. Con la instrucción formal, la adquisición del conocimiento matemático real vuelve a partir básicamente desde cero.

            La teoría cognoscitiva sostiene que los niños no llegan a la escuela como pizarras en blanco. La reciente investigación cognitiva demuestra que, antes de empezar la escolarización formal, la mayoría de los niños adquiere unos conocimientos considerables sobre contar, el número y la aritmética. Además, este conocimiento adquirido de manera informal actúa como fundamento para la comprensión y el dominio de las matemáticas impartidas en la escuela. En pocas palabras, las raíces de las aptitudes matemáticas llegan hasta la época preescolar y el éxito de la enseñanza escolar se funda en este conocimiento aprendido de manera informal. Para apreciar mejor la importancia de este elemento básico, examinaremos como ha evolucionado el conocimiento matemático en el transcurso de la historia humana.

B)    BREVE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

Inicios concretos

            Sentido numérico básico. El ser humano, como algunas otras especies, parece estar dotado de un sentido numérico primitivo. Podemos percibir fácilmente la diferencia entre un conjunto de un elemento y una colección de muchos elementos, o incluso entre una colección pequeña y una grande. Podemos ver si se añade o se quita algo de una colección. Esta percepción directa puede ser muy útil en determinadas circunstancias pero no en otras, como en el caso de distinguir una bandada de 8 aves a otra de 9.

            Métodos concretos de contar. Para llevar la cuenta del tiempo y de sus pertenencias, nuestros antepasados prehistóricos idearon métodos basados en la equivalencia y la correspondencia biunívoca. La equivalencia podía ofrecer un registro de los días transcurridos, por ejemplo, desde el último plenilunio: añadir un guijarro cada noche hasta que la luna llena volviera a aparecer.   De la misma manera, para llevar la cuenta de una colección de pieles animales, un cazador podía tallar una muesca en un palo o en un hueso por cada piel añadida al montón. Este proceso de equivalencia crea una correspondencia biunívoca: ni más ni menos que un elemento del conjunto de pieles. Mas adelante, para comprobar  si todavía estaban las pieles, estas podían emparejarse una a una con las muescas de palo para cortar.

            Restos del pasado. Todavía tiene resto de las épocas prenuméricas. Por ejemplo, en castellano hay varias formas de expresar  “2”: par, pareja, dúo, doble, diada, etc. En épocas más primitivas, estos términos pueden haber sido designados para referirse a la pluralidad de objetos específicos. Inicialmente, el número no era más que una cualidad o una característica de un objeto determinado.

Más allá de lo puramente concreto

            A  medida que las sociedades cazadoras-recolectoras daban paso a comunidades sedentarias basadas en la agricultura y el comercio, llevar la cuenta del tiempo y posesiones fue haciéndose cada vez mas importante. En consecuencia, también fue en aumento la necesidad de métodos más precisos de numeración y medición basados en contar. Contar es la base sobre la que hemos edificado los sistemas numérico y aritmético, del papel tan esencial en nuestra civilización avanzada. A su vez, el desarrollo de contar esta íntimamente ligado a nuestros diez dedos.

Dantzig afirma:                      A sus diez dedos articulados debe el hombre su éxito en el cálculo. Estos dedos le han enseñado a contar y, en consecuencia, a  extender infinitamente el alcance del numero. Sin este instrumento. La aptitud numérica del hombre y no podría haber ido mucho mas allá del sentido rudimentario del numero. Y es razonable aventurar   que, sin nuestros dedos, el desarrollo del número y, en consecuencia, el de las ciencias exactas a las que debemos nuestro progreso material e intelectual, se hubiera visto irremediablemente menguado.

            Contar con los dedos es el trampolín que permite superar las limitaciones de nuestro sentido numérico natural. Donde los antropólogos no han encontrado señales del empleo de los dedos para contar, la percepción del número es muy limitada. En unos estudios realizados con aborígenes de Australia que no habían alcanzado a llegar a la etapa de contar con los dedos solo se encontraron unos pocos que pudieron identificar el 4 y ninguno que pudiera distinguir el 7. En este sentido natural, los aborígenes no desarrollan conceptos básicos de la cantidad y la medida.

            Numero abstracto. Es probable que contar fuera el medio por el que nuestra civilización desarrollo un concepto abstracto del número: un concepto que hace posible la matemática, Russell afirmaba que pudieron haber transcurrido eras antes de que se reconociera que las distintas dualidades concretas como el caso del numero 2. Los dedos proporcionan modelos fácilmente asequibles de colecciones de uno a diez objetos. Pueden levantarse dos dedos, por ejemplo, para indicar un par de ojos y una yunta de caballo. Con el nombre, el nombre de esta colección modelo pudo aplicarse a cualquier colección concreta que se correspondiera con dos dedos.

            Durante un largo periodo de la historia, los términos para “dos”  “tres” y “muchos” sirvieron adecuadamente. A medida que fue creciendo la necesidad de una precisión mayor, contar se convirtió en un instrumento esencial. Contar coloca los nombres de las colecciones modelo en un orden y ofrece una alternativa conveniente a la equivalencia para asignar nombres numéricos. Podía hacerse una petición directamente con la palabra siete y cumplirse contando siete objetos.

Conectar los dos aspectos numéricos. El número tiene dos funciones: nombrar y ordenar. El aspecto nominal, o cardinal, trata e los elementos que contienen un conjunto dado. Nombrar un conjunto no requiere contar necesariamente. Como acabamos de ver, un conjunto puede clasificarse como “cinco”, por ejemplo, si se corresponden exactamente (es decir, pueden formar una correspondencia biunívoca) con los elementos de una colección modelo (por ejemplo, los dedos de una mano) denominada “cinco”. Por tanto, nombrara conjuntos solo requería colecciones modelos como los ojos para representar dos, una hoja de trébol para representar tres, las patas de un caballo para el cuatro, etc..

El aspecto de orden, u ordinal, de numero, esta relacionado con contar y se refiere a colocar colecciones en sucesión por orden de magnitud. Contar proporciona una secuencia ordenada de palabras (la serie numérica) que puede asignarse a colecciones cada vez mayores. Para contar una colección, una persona asigna sucesivamente términos de la serie numérica a cada elemento dela colección hasta que ha asignado un nombre a cada uno de los elementos. El número asignado a la colección especifica la magnitud relativa del conjunto. Por ejemplo, se ha contado una colección y se le ha asignado l palabra cinco, será mayor que otras designadas, con uno, dos, tres o cuatro y menos que las designadas con seis o más.

Contar con los dedos puede enlazar los aspectos cardinal ordinal del número. Para representar una colección como, por ejemplo, el número cardinal 4, una persona solo tiene que levantar cuatro dedos simultáneamente para contar la misma colección, la persona levanta cuatro dedos en sucesión. Los resultados de contar son idénticos a los de levantar simultáneamente cuatro dedos (la representación cardinal) por tanto, nuestros dedos son un medio para pasar sin esfuerzo de un aspecto del numero al otro (Dantzig, 1930-1954).

El desarrollo de un sistema de numeración con órdenes de unidades de la base diez.  

            A medida que las sociedades y las economías se fueron haciendo mas complejas aumento la presión encaminada a cubrir sistemas de representación y d calculo lo que pudieran aplicarse con eficacia a grades cantidades. Para representar un rebaño de 124 ovejas el empleo de un sistema de contar estableciendo correspondencias es muy incomodo.las tareas con cantidades grandes inspiraron la idea de hacer agrupamientos, y nuestros diez dedos ofrecieron una base natural para ello (Churchill, 1961)por ejemplo cuando una oveja pasaba junto al pastor, este le contaba con los dedos, cuando llegaba a diez, podía representar esta cantidad con un guijarro. Con las manos libres otra vez, podría proseguir el recuento. A medida que se iban acumulándolos guijarros, podía haber simplificado aun mas el proceso  sustituyendo  diez guijarros por una piedra. Por tanto la piedra pasaría a representar 10 decenas, o sea 100. Como estos agrupamientos se basan en el 10 y en múltiplos de 10, el sistema empleado por el pastor se denomina sistema de base de diez. Si tuviéramos doce dedos es probable que hubiéramos hecho agrupaciones de doce en doce y hoy tendríamos un sistema de base doce.. Nuestro sistema de base diez es simplemente un 2accidente fisiológico”

            El primer sistema numérico conocido apareció hacia el año 3500 a de C. e incorporaba un concepto de base diez. El sistema cuneiforme de los sumerios y el sistema jeroglífico de los egipcios empleaban una colección de trazos para representar los números del 1 al 9. Un agrupamiento de decenas se representaba con un símbolo especial. Mas adelante los griegos y los romanos desarrollaron sistemas diferentes. Sin embargo, ninguno de estos sistemas numéricos antiguos se prestaba con facilidad al calculo aritmético, como demostrara rápidamente el intento de realizar la suma de la figura 2.1 B  

            Aunque los símbolos escritos se han usado para representar números desde tiempos prehistóricos, el desarrollo de unos procedimientos de cálculo eficaces tuvo que esperar hasta la invención de un sistema de numeración posicional. En un sistema posicional o de órdenes de unidades, el lugar de una cifra define su valor. Por ejemplo, el numero 37 el 3 ocupa el lugar de las decenas y de ahí que represente tres decenas y no tres unidades. Esto elimina la necesidad de símbolos especiales para representar 10 y múltiplos de 10 como ocurre en los jeroglíficos egipcios. En un sistema con ordenes de unidades, que pueden usarse con 10 cifras (del 0 al 9) para representar cualquier numero, aun los números grandes de una manera compacta.

Con todo, la numeración posicional es una idea relativamente abstracta y no se improviso con rapidez. Es probable que el impulso para un sistema posicional fuera producido  por la necesidad de anotar por escrito las operaciones realizadas con un ábaco. El acabo ilustrado en la 2.2 utiliza un modelo de base diez: la columna de la derecha  representa las unidades, la siguiente representa grupos de diez y la siguiente grupos de cien. De acuerdo con esto, la figura 2.2.A representa  el numero  cuatrocientos treinta  y dos (432) y la figura 2.2.B. el cuatrocientos dos (402).

Los usuarios de ábacos no debieron tener dificultades con las columnas vacías hasta que tuvieron que hacer un registro permanente de sus cuentas. Parece ser que el 0se invento para simbolizar una columna vacía y evitar esta confusión (por ejemplo, Engiehardt, Ashlock y Webe, 1984). Parece que, al principio, el 0 significaba algo vacio o en blanco, no la nada (ningún objeto). Con la invención del 0 fue posible la concepción de un sistema numérico posicional (con ordenas de unidades). Esto hizo posible la elaboración de algoritmos aritméticos que podían ser aprendidos por casi todo el mundo.  La invención del 0 es uno de los mayores logros de la historia humana, y fue un hito frusial que hizo posible la ciencia y el comercio moderno (Dantzing, 1954).

            En la realidad, los procedimientos de cálculo escrito solo se han venido usando durante los últimos 300 años de la historia e la humanidad solo hace unos centenares de años, lo normal en Europa occidental era contar con los dedos. En los libros y las universidades se enseñaba a hacer cálculos aritméticos con los dedos, el arte e emplear los dedos para contar y realizar operaciones aritméticas sencillas era, en aquellos tiempos, uno de los logros de las personas cultivadas.